Was ist Integralrechnung?

Unter Integralrechnung versteht man das Berechnen von Flächen, welche sich unter oder über Funktionen befinden. Man kann jedoch auch das Volumen von Körpern berechnen, wenn diese mit Hilfe der Formel für Rotationsvolumen berechnet werden können.

Die Flächen können sich in einem bestimmten Abschnitt befinden, Intervall genannt, welcher entweder angegeben werden kann ( Berechnen Sie die Fläche der Funktion xy im Intervall [-1,3] ) oder durch spezielle Angaben ermittelt werden muss ( Berechnen Sie die Fläche zwischen der Funktion xy und der x Achse – Intervall wären hier die Nullstellen ).

Die Integralrechnung ist ein Teilbereich der Analysis, welche man in Differntialrechnung ( also unsere Kurvendiskussion ) und die Integralrechnung ( dieser Abschnitt teilen kann )

Ableiten und Tangenten

Lernziele

• Ableiten ( mit der Potenzregel)
• x Wert in die Ableitung einsetzen ergibt Steigung
• x Wert in f (x) einsetzen ergibt y Koordinate des Punktes
• Wofür dient welche Ableitung

1. Voraussetzungen der letzen Lerneinheit
Wir haben bereits ableiten gelernt. Vereinfacht lautet die Regel:

Exponent malnehmen mit der Zahl vor dem x ( oder einer gleichnamigen Variablen ) und von diesem Exponenten dann 1 subtrahieren. Dies ist gar nicht so schwer wie es sich anhört und wurde von Euch auch gut beherrscht.

f(x)=x²
f´(x)= 2x

Uns ist auch bereits bekannt dass wir die verschiedenen Ableitungen brauchen um unterschiedlich Dinge auszurechnen:
Die f (x) benötigen wir zum Ermitteln der Achsenschnittpunkte
f´(x) um die Hoch- und Tiefpunkte auszurechnen
und
f´´(x) hilft uns beim Wendepunkt

In der letzten Stunde habt Ihr aber bereits eine andere Funktion der ersten Ableitung kennengelernt:
Sie hat etwas mit der Steigung einer Tangente zu tun.

Was ist denn eine Tangente?

Eine Tangente ist eine lineare Funktion ( also ein Strich :D) der die Funktionskurve an einem bestimmten Punkt berührt ( Tangiert)

Diesen Punkt nehmen wir uns ( die x Koordinate davon) und setzen das in die erste Ableitung ein. Heraus kommt die Steigung.
Du möchtest also wissen wie steil die Funktion f(x) bei x=3 ist. Also machen wir das mit Hilfe einer Tangente und gehen nach folgendem Schema vor

• Erst einmal ableiten

f(x)=x²
f´(x)= 2x

• Dann den Punkt x=3 in f´(x) statt x einsetzen

f`(3)=2*3
f`(3)=6
also ist m=6
Das ist die Steigung im Punkt 6

• Nun brauchen wir die Funktionsgleichung der Tangente.

Schau Dir hierfür noch einmal die Wiederholung für lineare Funktionen an ( siehe Video unten)

Wir brauchen den genauen Punkt an der Stelle x=3 und setzen die 3 darum noch einmal in f(x) ein
f(3)= 3² =9
Punkt ( 3/9)
und dann in die Punkt Steigungsform um b auszurechnen
y=mx+b
9=6*3+b
9=18+b
b=-9

In die Funktionsgleichung einsetzen:
y=6x-9

Übungsaufgaben

1. Berechne die Tangentengleichung im Punkt x=3 von f(x)=2x³+x²
2. Berechne die Tangentengleichung im Punkt x=1 von f(x)=2x³+x²
3. Berechne die Tangentengleichung im Punkt x=3 von f(x)=4x³