Besprechung und Lösungshinweise Abituraufgabe Pharo Pyramide analytische Geometrie

Bestätigen Sie, dass .. Normalenvektor ist

Vorgehen
Ebenengleichung in Parameterform aus 3 Punkten bauen
Richtungsvektoren kürzen
Kreuzprodukt der Richtungsvektoren ergibt Normalenvektor

Umwandeln in Koordinatenform
Vorgehen
Normalenvektor übernehmen
Umwandeln der Ebene in Normalenform ( Klammer ausmulitplizieren)
dann in Koordinatenform umwandeln

Volumen und Mantelfläche

Vorgehen
Höhe der Pyramide und Seitenlänge der Kanten ablesen
In die Formel für V eingeben

Mantel: Höhe der Dreiecke mit Pytagoras ermitteln
Mantel ist vier Mal Grundseite der Pyramide durch Höhe des Dreiecks durch 2


c) Zeigen, dass E auf der Seite AS liegt
Geradengleichung AS bauen
Punktprobe der Gerade AS mit E

Zeigen, dass EFGH in einer Ebene liegen
Ebene EFG bauen
H als Punktprobe für Ebene verwenden
Ebene EFG in Koordinatenform umwandeln: Normalenvektor ( Richtungsvektoren der Ebene Kreuzprodukt, dann in NOrmalenform, ausmulitplizieren = Koordninatenform)

Nachweis dass EFGH Trapet ist

Schnittwinkel E1 E2
Normalenvektor E 1 und E2 nehmen
Winkel mit COS berechnen ( oben die Skalprodukte und unten Betrag malnehmen und cos-1 ziehen)


Zeigen Sie, dass die Punkte E, F, G und H in einer Ebene E2 liegen, und bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von E2. (Zur Kontrolle: E2: 2x2 + 3x3 – 240 = 0) y Ermitteln Sie den Schnittwinkel der Ebenen E1 und E2. (30P) d) Weisen Sie nach, dass das Viereck EFGH ein Trapez ist, und bestimmen Sie den Abstand der parallelen Seiten sowie den Flächeninhalt des Trapezes. (20P) e) Im Innern der ursprünglichen Pyramide ist die Grabkammer des Pharaos. Q sei der Mittelpunkt der Kammer. Ein Archäologe bestimmt die Koordinaten von Q mit (40|40|24,72). Er vermutet, dass Q von den Seitenwänden und von der Grundfläche ABCD jeweils den gleichen Abstand hat. Begründen Sie, dass es bei den Seitenwänden reicht, lediglich eine Wand zu betrachten, und weisen Sie nach, dass der Archäologe Recht hat.

Koordinatensystem analytischen Geometrie

Das Koordinatensystem

Wir kennen ja das Koordinatensystem aus der Analysis. Hier haben wir eine x und eine y Achse. Punkte werden in dem System immer mit zwei Angaben definiert P ( 1/ 45) wobei die erste Zahl für den x Wert steht, die zweite Zahl für den Wert auf der y Achse. In der analytischen Geometrie reichen nicht zwei Achsen aus, denn ein Würfel hat ja drei Dimensionen, die Länge, Höhe und Breite. So müssen wir das vorhandene Koordinatensystem um eine weitere Achse, die z Achse ergänzen.

Das Koordinatensystem sieht dann so aus, dass wir die z Achse einfach vorne anbauen. Natürlich haben die auch einen negativen Bereich. Das Koorinatensystem

Das Koordinatensystem hat drei Achsen x,y,z

Seine drei Achsenvektoren sind

(1/0/0)

(0/1/0)

(0/0/1)

Der Ursprung liegt bei ( 0/0/0)

Aufgaben Lineare Gleichungssysteme

 6a+3b=0
-2a+6b=28

b=-3a
in II
-2a-18a=28
-20a=28
a=-1

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