Obersumme und Untersumme
Da uns bisher noch keine anderen
Möglichkeiten zur Berechnung der Fläche zur Verfügung stehen
müssen wir uns mit einem Trick helfen. Dieser besteht darin die
sogenannten Untersumme und Obersumme zu berechnen, welche dann im
Mittelwert den Flächeninhalt der zu untersuchenden Funktion
darstellt.
Da man für die Flächen eine spezielle
Formel braucht, welche wir noch herleiten wollen, führen wir die
Berechnung mit der Methode der Untersumme und der Obersumme durch.
Berechnung der Untersumme
Man hat dazu den Funktionsgraphen.
Zunächst wollen wir die Untersumme berechnen. Hierfür nehmen wir
uns Rechtecke, welche UNTER der Funktion abschließen und berechnen
deren Fläche. Um uns das Rechnen zu erleichtern geben wir diesen
stets die Breite von 1 Einheit auf der x Achse. Eine Fläche
berechnet man, in dem man die Breite mit der Höhe des Rechtecks
multipliziert. So bekommt man die Fläche des einen Rechteckes raus.
Um die Fläche unter der Funktion ausrechnen zu können machen wir
dann noch die Summe: Wir rechnen alle einzeln berechneten Rechtecke
miteinander zusammen und erhalten die Untersumme.
Berechnung der Obersumme
Die Obersumme wird nach dem ähnlichen
Verfahren ermittelt: Man zieht Rechtecke entlang der x Achse ein, die
knapp oberhalb der Funktion abschließen, berechnet deren
Flächeninhalt nacheinander und dann die Summe der Rechtecke.
Nach der Berechnung der Obersumme
und der Untersumme
Ist die Berechnung der Obersumme und
der Untersumme abgeschlossen kann man mehrere offensichtliche
Tatsachen festhalten. Zum Einen ist die Obersumme größer, als die
Untersumme. Zum Anderen muss sich der tatsächliche Wert für den
Flächeninhalt der Funktion irgendwo zwischen der Untersumme und der
Obersumme befinden.
Wie genau ist das Rechnen mit der
Untersumme und der Obersumme?
Die Genauigkeit unserer Berechnung kann
außerdem stark variieren Je nachdem ob man die Rechtecke breiter
oder schmaler wählt, verändert sich auch die Genauigkeit der
Berechnung. Je enger die Veränderungen erfasst werden, desto genauer
ist die Näherung mit Hilfe der Untersumme und der Obersumme zu
sehen.
Wie können wir die Genauigkeit
verbessern?
Um uns nun nicht mit stundenlangen
Rechnungen auf zu halten und endlose Summen zu produzieren, kann es
sinnvoll sein, dass man die Breite der Zerlegung breiter zu wählen.
Wollen wir dagegen sehr genaue Zahlen erhalten, so müssen wir mit
einer kleineren Zerlegung, also einer geringeren Breite der Rechtecke
arbeiten.
Wie wird Integralrechnung in Zukunft
ablaufen
Die Berechnung der Obersumme und der
Untersumme ist nur eine Herleitung des Themas. Künftig wird die
Berechnung mit Hilfe von Integralen geschehen, woher sich auch der
Name Integralrechnung ableitet. Diese werden mit Hilfe der
Stammfunktion zur Flächenberechnung heran gezogen. Die Stammfunktion
ist die Aufleitung der Funktion unter der sich die zu berechnende
Fläche befindet.
