Ableiten und Tangenten

Lernziele

• Ableiten ( mit der Potenzregel)
• x Wert in die Ableitung einsetzen ergibt Steigung
• x Wert in f (x) einsetzen ergibt y Koordinate des Punktes
• Wofür dient welche Ableitung

1. Voraussetzungen der letzen Lerneinheit
Wir haben bereits ableiten gelernt. Vereinfacht lautet die Regel:

Exponent malnehmen mit der Zahl vor dem x ( oder einer gleichnamigen Variablen ) und von diesem Exponenten dann 1 subtrahieren. Dies ist gar nicht so schwer wie es sich anhört und wurde von Euch auch gut beherrscht.

f(x)=x²
f´(x)= 2x

Uns ist auch bereits bekannt dass wir die verschiedenen Ableitungen brauchen um unterschiedlich Dinge auszurechnen:
Die f (x) benötigen wir zum Ermitteln der Achsenschnittpunkte
f´(x) um die Hoch- und Tiefpunkte auszurechnen
und
f´´(x) hilft uns beim Wendepunkt

In der letzten Stunde habt Ihr aber bereits eine andere Funktion der ersten Ableitung kennengelernt:
Sie hat etwas mit der Steigung einer Tangente zu tun.

Was ist denn eine Tangente?

Eine Tangente ist eine lineare Funktion ( also ein Strich :D) der die Funktionskurve an einem bestimmten Punkt berührt ( Tangiert)

Diesen Punkt nehmen wir uns ( die x Koordinate davon) und setzen das in die erste Ableitung ein. Heraus kommt die Steigung.
Du möchtest also wissen wie steil die Funktion f(x) bei x=3 ist. Also machen wir das mit Hilfe einer Tangente und gehen nach folgendem Schema vor

• Erst einmal ableiten

f(x)=x²
f´(x)= 2x

• Dann den Punkt x=3 in f´(x) statt x einsetzen

f`(3)=2*3
f`(3)=6
also ist m=6
Das ist die Steigung im Punkt 6

• Nun brauchen wir die Funktionsgleichung der Tangente.

Schau Dir hierfür noch einmal die Wiederholung für lineare Funktionen an ( siehe Video unten)

Wir brauchen den genauen Punkt an der Stelle x=3 und setzen die 3 darum noch einmal in f(x) ein
f(3)= 3² =9
Punkt ( 3/9)
und dann in die Punkt Steigungsform um b auszurechnen
y=mx+b
9=6*3+b
9=18+b
b=-9

In die Funktionsgleichung einsetzen:
y=6x-9

Übungsaufgaben

1. Berechne die Tangentengleichung im Punkt x=3 von f(x)=2x³+x²
2. Berechne die Tangentengleichung im Punkt x=1 von f(x)=2x³+x²
3. Berechne die Tangentengleichung im Punkt x=3 von f(x)=4x³