Integralrechnung - Berechnung der Obersumme und Untersumme

Obersumme und Untersumme

Da uns bisher noch keine anderen Möglichkeiten zur Berechnung der Fläche zur Verfügung stehen müssen wir uns mit einem Trick helfen. Dieser besteht darin die sogenannten Untersumme und Obersumme zu berechnen, welche dann im Mittelwert den Flächeninhalt der zu untersuchenden Funktion darstellt.

Da man für die Flächen eine spezielle Formel braucht, welche wir noch herleiten wollen, führen wir die Berechnung mit der Methode der Untersumme und der Obersumme durch.

Berechnung der Untersumme

Man hat dazu den Funktionsgraphen. Zunächst wollen wir die Untersumme berechnen. Hierfür nehmen wir uns Rechtecke, welche UNTER der Funktion abschließen und berechnen deren Fläche. Um uns das Rechnen zu erleichtern geben wir diesen stets die Breite von 1 Einheit auf der x Achse. Eine Fläche berechnet man, in dem man die Breite mit der Höhe des Rechtecks multipliziert. So bekommt man die Fläche des einen Rechteckes raus. Um die Fläche unter der Funktion ausrechnen zu können machen wir dann noch die Summe: Wir rechnen alle einzeln berechneten Rechtecke miteinander zusammen und erhalten die Untersumme.

Berechnung der Obersumme

Die Obersumme wird nach dem ähnlichen Verfahren ermittelt: Man zieht Rechtecke entlang der x Achse ein, die knapp oberhalb der Funktion abschließen, berechnet deren Flächeninhalt nacheinander und dann die Summe der Rechtecke.

Nach der Berechnung der Obersumme und der Untersumme

Ist die Berechnung der Obersumme und der Untersumme abgeschlossen kann man mehrere offensichtliche Tatsachen festhalten. Zum Einen ist die Obersumme größer, als die Untersumme. Zum Anderen muss sich der tatsächliche Wert für den Flächeninhalt der Funktion irgendwo zwischen der Untersumme und der Obersumme befinden.

Wie genau ist das Rechnen mit der Untersumme und der Obersumme?

Die Genauigkeit unserer Berechnung kann außerdem stark variieren Je nachdem ob man die Rechtecke breiter oder schmaler wählt, verändert sich auch die Genauigkeit der Berechnung. Je enger die Veränderungen erfasst werden, desto genauer ist die Näherung mit Hilfe der Untersumme und der Obersumme zu sehen.

Wie können wir die Genauigkeit verbessern?

Um uns nun nicht mit stundenlangen Rechnungen auf zu halten und endlose Summen zu produzieren, kann es sinnvoll sein, dass man die Breite der Zerlegung breiter zu wählen. Wollen wir dagegen sehr genaue Zahlen erhalten, so müssen wir mit einer kleineren Zerlegung, also einer geringeren Breite der Rechtecke arbeiten.

Wie wird Integralrechnung in Zukunft ablaufen

Die Berechnung der Obersumme und der Untersumme ist nur eine Herleitung des Themas. Künftig wird die Berechnung mit Hilfe von Integralen geschehen, woher sich auch der Name Integralrechnung ableitet. Diese werden mit Hilfe der Stammfunktion zur Flächenberechnung heran gezogen. Die Stammfunktion ist die Aufleitung der Funktion unter der sich die zu berechnende Fläche befindet.