Newton Verfahren

Newton Verfahren

Wir nutzen das Newtonverfahren im Thema Analysis

zum Berechnen von Nullstellen

Immer dann, wenn wir keines der Verfahren ( x ausrechnen ) anwenden können. Wir können diese Funktion dann nicht
a) Umstellen f(x)=6x+12
b) Durch Ausklammern lösen f(x)=x³+6x²+x

c) Durch die PQ Formel lösen f(x)=x²+6x+2

d) Durch Substitution lösen f(x)=x^4+2x²+1

sondern müssen ein anderes Verfahren verwenden.

Alternativen sind:
Nullstellen finden durch Ausprobieren
Horner Schema oder Polynomdivision verwenden ( Funktion vereinfachen )
Regular Falsi

Herumprobieren ( Wertetabellen verwenden, um die Nullstellen immer weiter anzunähern )

Es handelt sich um ein Näherungsverfahren bei welchem man die Nullstellen einer Funktion mit Hilfe ihrer Ableitung berechnen kann.

Man wendet die Formel für die Näherung immer und immer wieder an, bis man die Nullstellen gefunden hat.

Formel

Vorgehen

Die Funktionsgleichung ist gegeben

f(x)=2x³+ 4x+2

Erstellen der ersten Ableitung

f´(x)=6x²+4

Man nähert mit Hilfe der Wertetabelle die Nullstelle

Wertetabelle erstellen von -5 bis 5 mit Mode Table

Anschließend ermittelt man die beiden Punkte, bei denen sich das Vorzeichen wechseln:

x=-1

x=0

Hier nimmt man erstmal einen Mittelwert

x=-0,5

Diesen verwendet man dann als x0 und setzt ihn statt x zunächst in f(x) anschließend in f`(x) statt x ein

f(x)=2(-0,5)³+ 4(-0,5)+2 =-0,25

f´(x)=6(-0,5)²+4 = 5,5

Diese Werte werden nun in die Formel eingesetzt

-0,5- (-0,25/5,5)= -0,45454545454545

Dies bildet das neue x, welches nun im nächsten Durchlauf wieder in die Funktionsgleichung und in die Ableitung eingesetzt werden sollte

Dies ist dann unser neues x

x=-0,454545454545454545454

f(x)=2(-0,454545454545454545454)³+ 4(-0,454545454545454545454)+2 =--0,006

f´(x)=6(-0,454545454545454545454)²+4 = 5,2399

wieder in die Formel einsetzen

ergibt x=-0,455 und so weiter