3.2.1 Analysis
• Differentialrechnung
• Integralrechnung
• Exponentialfunktionen
• Kurvenscharen
• Numerische Mathematik
• Komplexe Zahlen
3.2.2 Analytische Geometrie/Lineare Algebra
• Affine Geometrie
• Metrische Geometrie
• Vektorr¨aume
• Kreis und Kugel
3.2.3 Stochastik
• Wahrscheinlichkeitsrechnung
• Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Beurteilende Statistik
• Jahrgangsstufe 11: Differentialrechnung - Affine Geometrie - Wahrscheinlichkeitsrechnung • Grundkurs 12.1: Integralrechnung - Metrische Geometrie • Grundkurs 12.2: Exponentialfunktionen - Wahrscheinlichkeitsverteilungen • Grundkurs 13.1: Beurteilende Statistik - Kreis und Kugel • Grundkurs 13.2: Kurvenscharen und Numerische Mathematik - Komplexe Zahlen • Leistungskurs 12.1: Integralrechnung - Vektorr¨aume/Metrische Geometrie • Leistungskurs 12.2: Exponentialfunktionen - Wahrscheinlichkeitsverteilungen • Leistungskurs 13.1: Kurvenscharen und Numerische Mathematik - Beurteilende Statistik • Leistungskurs 13.2: Testverfahren - Kreis und Kugel - Komplexe Zahlen
Themen • Kostenentwicklung in einem Betrieb • Anfahren und Bremsen eines Fahrrades • Temperaturschwankungen innerhalb eines Tages • Energiebedarf einer Stadt im Tagesverlauf • Der Parabolspiegel eines Satellitenprogrammempf¨angers • Optimaler Materialverbrauch bei einer Milchverpackung Inhalte Hinweise Mittlere Anderungsrate ¨ – Einfuhrung des Differenzenquotienten einer Funktion, ¨ Sekantensteigung Momentane (lokale) Ande- ¨ rungsrate – Ubergang zum Differentialquotienten durch Verwen- ¨ dung eines intuitiven Grenzwertbegriffs (Veranschaulichung z.B. mit Tabellenkalkulationsprogramm), Tangentensteigung Ableitungsfunktion – Ubergang von der lokalen Steigung zur Ableitungs- ¨ funktion; Entwicklung der Ableitungsregel fur Potenz- ¨ funktionen; Summen- und Faktorregel Extremwerte – notwendige, hinreichende Bedingung fur eine Extrem- ¨ stelle; Extremwertaufgaben Differentiationsregeln – Erweiterung auf Kehrwert- und Wurzelfunktion; gra- fisches Differenzieren, auch am Beispiel der Sinusund Cosinusfunktion; Einfuhrung der Produkt-, ¨ Quotienten- und Kettenregel, wenn sich die Notwendigkeit aus der Anwendung ergibt. Numerische Ermittlung von Funktionswerten – N¨aherungsverfahren (Halbschrittverfahren oder regula falsi); Computereinsatz
Inhalte Hinweise Vektoren im 2- bzw. 3- dimensionalen Raum – Vektoren werden in der Spaltenform angegeben. Rechnen mit Vektoren – Addition; S-Multiplikation; Linearkombination Geraden und Ebenen – Gleichungen in Parameterform Lage von Geraden und Ebenen – L¨osen Linearer Gleichungssysteme; Computereinsatz
Themen • Roulette • Lotto • Vererbung von Merkmalen Inhalte Hinweise Wahrscheinlichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit – Wahrscheinlichkeit von Anzahlen P(X=k) ohne Problematisierung der Zufallsvariablen; Vierfeldertafel Simulation – Computer als Zufallsgenerator ohne Thematisierung der Erzeugung von Zufallszahlen, keine Beschr¨ankung auf Binomialverteilung
Themen • Volumenbilanz eines Pumpspeicherwerks • Durchschnittswerte bei Temperaturen (Niederschl¨agen) • Inhalte krummlinig begrenzter Fl¨achen Inhalte Hinweise Summe von Produkten – Unterschiedliche Problemstellungen fuhren auf Sum- ¨ men von Produkten, die sich grafisch als Fl¨acheninhalt von Rechteckstreifen deuten lassen. Integralfunktion – intuitive Grenzwertbildung (Veranschaulichung z.B. mit Tabellenkalkulationsprogramm); Integralwert; Integralfunktion Hauptsatz der Infinitesimalrechnung – Begrundung des Hauptsatzes f ¨ ur nichtnegative, steti- ¨ ge Funktionen; Berechnen des Integralwerts mithilfe der Stammfunktion Integrationsregeln – Additivit¨at; Linearit¨at (E) Differentialgleichungen – Auswahl solcher Differentialgleichungen, die sich durch Integration l¨osen lassen (E) Volumenberechnungen – Volumen von Rotationsk¨orpern
Themen • Minimaler Abstand zwischen Flugkursen • Sicher Fliegen und Landen • Berechnung und Darstellung der Bewegung von K¨orpern 38 4 Themen des Unterrichts Inhalte Hinweise L¨ange – Skalarprodukt; Betrag eines Vektors Winkelmaß – Winkelmaß zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen; Prufen auf Orthogonalit ¨ ¨at Abstand – Abstand zwischen Punkten, Geraden und Ebenen; Lotfußpunktverfahren; Normalenform einer Ebenengleichung Fl¨acheninhalt – Vektorprodukt; Fl¨acheninhalt eines Dreiecks; Spatvolumen
Themen • Stetige Verzinsung eines Kapitals • Radioaktiver Zerfall • Bev¨olkerungswachstum Inhalte Hinweise Eigenschaften von Exponentialfunktionen – Monotonie; Verdoppelungs- und Halbierungswerte; Erkenntnis, dass exponentielle Wachstums- oder Zerfallsprozesse durch Exponentialfunktionen mit einer festen Basis (z.B. 2) dargestellt werden k¨onnen; Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion; Ableitung von Exponentialfunktionen e-Funktion – Definition der Euler’schen Zahl mithilfe der Ableitung fur Exponentialfunktionen ¨ Naturliche Logarithmus- ¨ funktion – Eigenschaften; Ableitungsfunktion; L¨osen von Exponentialgleichungen (E) Differentialgleichungen des Typs f’(x) = k f(x) – Erkenntnis, dass sich alle exponentiellen Wachstumsoder Zerfallsprozesse durch diesen Typ beschreiben lassen
Themen • Werfen von Wurfeln (auch Tetraederw ¨ urfel) ¨ • Das Galton-Brett • Normalverteilte Zufallsgr¨oßen Inhalte Hinweise Binomialverteilung – Urnenmodell ” Ziehen mit Zurucklegen“; Berechnung ¨ von Werten; Arbeit mit Tabellen; Erwartungswert und Standardabweichung (Beweise nicht erforderlich); Eigenschaften der Binomialverteilung; Computereinsatz Normalverteilung – Bestimmung der N¨aherungswerte mithilfe von Tabellen oder Rechnern (E) Poissonverteilung – N¨aherung der Binomialverteilung fur kleine p
Themen • Bruttosozialprodukt der EU-Staaten und Einwohnerzahl • Wahlhochrechnung • Geschmackstest Inhalte Hinweise Korrelation – Regressionsgerade als Anwendung der Analysis Sigma-Umgebungen bei Binomialverteilungen – 1-, 2-, oder 3-Sigma-Umgebungen; Aussagen uber fast ¨ alle Ergebnisse der zugeh¨origen Zufallsgr¨oße; Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe Alternativtest – Verbale Beschreibung des Testproblems; Festlegung des Stichprobenumfangs; Festlegung des Annahmeund Ablehnungsbereichs; Entscheidungsregel; Fehler erster und zweiter Art Signifikanztest – Festlegung von Nullhypothese und Gegenhypothese; Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit; Signifi- kanzniveau; Bestimmung der Testvariablen und ihrer Verteilung
Kreis und Kugel (Grundkurs 13.1; 3 Wochen) Die Analytische Geometrie wird um Kreise und Kugeln erweitert. Vektoren k¨onnen auch hier zur Untersuchung vorteilhaft genutzt werden. Themen • Meteoriteneinschlag auf der Erde Inhalte Hinweise Kreis und Kugel – Kreis- und Kugelgleichung; Schnittaufgaben Tangenten und Tangentialebenen – Gleichungen in Ursprungs- und Verschiebungsform
Themen • Gleisbau • Flugkurven beim Kugelstoßen Inhalte Hinweise Krummung ¨ – geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung; Wendestelle; Wendetangente; einfache Parameteraufgaben Kurvenscharen – Untersuchung von Kurvenscharen; Einhullende Kur- ¨ ve; Kurven auf denen die Extrem- und Wendepunkte liegen; einfache Grenzwertbestimmungen Numerische Verfahren – Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung; Sehnen-Verfahren zur numerischen Integration
Themen • Volumenbilanz eines Pumpspeicherwerks • Durchschnittswerte bei Temperaturen (Niederschl¨agen) • Kepler’sche Fassregel zur Berechnung von Volumina • L¨ange einer Straße • Inhalte krummlinig begrenzter Fl¨achen Inhalte Hinweise Summe von Produkten – Unterschiedliche Problemstellungen fuhren auf Sum- ¨ men von Produkten, die sich grafisch als Fl¨acheninhalt von Rechteckstreifen deuten lassen. Integralfunktion – Integralwert; Integralfunktion Hauptsatz der Infinitesimalrechnung – Problematisierung und Definition der Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle; Beweis des Hauptsatzes; Berechnen des Integralwerts durch Stammfunktionen Integrationsregeln – Additivit¨at; Linearit¨at; partielle Integration; Integration durch Substitution; uneigentliche Integrale N¨aherungsverfahren – Sehnentrapez- und Tangententrapezverfahren Simpsonverfahren; Fehlerabsch¨atzungen Volumenberechnungen – Volumen von Rotationsk¨orpern (E) Differentialgleichungen – Auswahl solcher Differentialgleichungen, die sich durch Integration l¨osen lassen
Themen • Verwaltung eines Warenlagers (Matrizen) • Sicher Fliegen und Landen Inhalte Hinweise Vektorr¨aume – Die Strukturen (Axiomensystem, Basis und Dimension) sollten an mehreren Beispielen (n- Tupel, Matrizen, Folgen, ganzrationale Funktionen usw.) untersucht werden; Linearkombination von Vektoren. Skalarprodukt – Beispiele fur verschiedene Skalarprodukte in einem ¨ Vektorraum; Beweis geeigneter elementargeometrischer S¨atze mit vektoriellen Methoden Vektor- und Spatprodukt – Vektorprodukt als spezielles Produkt im 3- dimensionalen Vektorraum mit geometrischer Veranschaulichung Normalen- und Koordinatenformen – Schnittwinkel zwischen Geraden oder Ebenen; Abstand zwischen Punkten, Geraden und Ebenen; Normalenform einer Ebenengleichung
Themen • Stetige Verzinsung eines Kapitals • Radioaktiver Zerfall • Bev¨olkerungswachstum • H¨ohenabh¨angigkeit des Luftdrucks Inhalte Hinweise Eigenschaften von Exponentialfunktionen – Monotonie; Funktionalgleichung; Erkenntnis, dass exponentielle Wachstums- oder Zerfallsprozesse durch Exponentialfunktionen mit einer festen Basis (z.B. 2) dargestellt werden k¨onnen; Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion; Ableitung von Exponentialfunktionen e-Funktion – Definition der Euler’schen Funktion mithilfe der Ableitung des Exponentialfunktionen Naturliche Logarithmus- ¨ funktion – Beweis der Eigenschaften; Ableitungsfunktion; L¨osen von Exponentialgleichungen
Themen • Werfen von Wurfeln (auch Tetraederw ¨ urfel) ¨ • Kartenspiele • Normalverteilte Zufallsgr¨oßen • Radioaktiver Zerfall Inhalte Hinweise Binomialverteilung – Urnenmodell ” Ziehen mit Zurucklegen“; Berechnung ¨ von Werten; Erwartungswert und Standardabweichung; Eigenschaften der Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung – Urnenmodell ” Ziehen ohne Zurucklegen“; Binomial- ¨ koeffizient; Berechnung von Werten; Erwartungswert und Standardabweichung; Vergleich zur Binomialverteilung, Laplace-Bedingung Normalverteilung – N¨aherung der Binomialverteilung (LaplaceBedingung); Gauß’sche Integralfunktion (StandardNormalverteilung); Eigenschaften der Gaußfunktion; Formel von Moivre Poissonverteilung – N¨aherung der Binomialverteilung fur kleine p
Themen • Gleisbau • Flugkurven beim Kugelstoßen Inhalte Hinweise Krummung ¨ – geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung; Wendestelle; Wendetangente; Parameteraufgaben Kurvenscharen – Untersuchung von Kurvenscharen; Einhullende Kur- ¨ ve; Kurven auf denen die Extrem- und Wendepunkte liegen; Grenzwertberechnungen; Satz von l’Hospital Numerische Verfahren – Konvergenz und Fehlerabsch¨atzung von Verfahren zur Nullstellenbestimmung (Newton-Verfahren, regula falsi) und zur Integration Taylorreihen – Satz von Taylor, Restgliedabsch¨atzungen
Themen • Wahlhochrechnung • Bruttosozialprodukt der EU-Staaten und Einwohnerzahl Inhalte Hinweise Sigma-Umgebungen – 1,64- und 2,58-Sigma-Umgebungen; Aussagen uber ¨ fast alle Ergebnisse der zugeh¨origen Zufallsgr¨oße; Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe Konfidenzintervalle – Bestimmung eines Konfidenzintervalls fur eine unbe- ¨ kannte Wahrscheinlichkeit; Sch¨atzen des Parameters p; Zusammenhang zwischen Stichprobenumfang und L¨ange des Konfidenzintervalls Korrelation – Regressionsgerade als Anwendung der Analysis
Themen • Geschmackstest • Ubereinstimmung einer angenommenen Verteilung mit der Realit ¨ ¨at Inhalte Hinweise Alternativtest – verbale Beschreibung des Testproblems; Festlegung des Stichprobenumfangs; Festlegung des Annahmeund Ablehnungsbereichs; Entscheidungsregel; Fehler erster und zweiter Art Signifikanztest – Festlegung von Nullhypothese und Gegenhypothese; Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit; Signifi- kanzniveau; Bestimmung der Testvariablen und ihrer Verteilung Weitere Testverfahren – Chi-Quadrat-Test oder Vorzeichentest oder Fishers exakter Test
Themen • Meteoriteneinschlag auf der Erde • Satelliten unterstutzte Navigation (GPS) ¨ Inhalte Hinweise Kreis und Kugel – Kreis- und Kugelgleichung; Schnittaufgaben Tangenten und Tangentialebenen – Gleichungen in Ursprungs- und Verschiebungsform Polare und Polarebene – Pol-Polarenbeziehung; Spiegelung an Kreis und Kugel
• Jahrgangsstufe 11: Differentialrechnung - Affine Geometrie - Wahrscheinlichkeitsrechnung • Grundkurs 12.1: Integralrechnung - Metrische Geometrie • Grundkurs 12.2: Exponentialfunktionen - Wahrscheinlichkeitsverteilungen • Grundkurs 13.1: Beurteilende Statistik - Kreis und Kugel • Grundkurs 13.2: Kurvenscharen und Numerische Mathematik - Komplexe Zahlen • Leistungskurs 12.1: Integralrechnung - Vektorr¨aume/Metrische Geometrie • Leistungskurs 12.2: Exponentialfunktionen - Wahrscheinlichkeitsverteilungen • Leistungskurs 13.1: Kurvenscharen und Numerische Mathematik - Beurteilende Statistik • Leistungskurs 13.2: Testverfahren - Kreis und Kugel - Komplexe Zahlen
Themen • Kostenentwicklung in einem Betrieb • Anfahren und Bremsen eines Fahrrades • Temperaturschwankungen innerhalb eines Tages • Energiebedarf einer Stadt im Tagesverlauf • Der Parabolspiegel eines Satellitenprogrammempf¨angers • Optimaler Materialverbrauch bei einer Milchverpackung Inhalte Hinweise Mittlere Anderungsrate ¨ – Einfuhrung des Differenzenquotienten einer Funktion, ¨ Sekantensteigung Momentane (lokale) Ande- ¨ rungsrate – Ubergang zum Differentialquotienten durch Verwen- ¨ dung eines intuitiven Grenzwertbegriffs (Veranschaulichung z.B. mit Tabellenkalkulationsprogramm), Tangentensteigung Ableitungsfunktion – Ubergang von der lokalen Steigung zur Ableitungs- ¨ funktion; Entwicklung der Ableitungsregel fur Potenz- ¨ funktionen; Summen- und Faktorregel Extremwerte – notwendige, hinreichende Bedingung fur eine Extrem- ¨ stelle; Extremwertaufgaben Differentiationsregeln – Erweiterung auf Kehrwert- und Wurzelfunktion; gra- fisches Differenzieren, auch am Beispiel der Sinusund Cosinusfunktion; Einfuhrung der Produkt-, ¨ Quotienten- und Kettenregel, wenn sich die Notwendigkeit aus der Anwendung ergibt. Numerische Ermittlung von Funktionswerten – N¨aherungsverfahren (Halbschrittverfahren oder regula falsi); Computereinsatz
Inhalte Hinweise Vektoren im 2- bzw. 3- dimensionalen Raum – Vektoren werden in der Spaltenform angegeben. Rechnen mit Vektoren – Addition; S-Multiplikation; Linearkombination Geraden und Ebenen – Gleichungen in Parameterform Lage von Geraden und Ebenen – L¨osen Linearer Gleichungssysteme; Computereinsatz
Themen • Roulette • Lotto • Vererbung von Merkmalen Inhalte Hinweise Wahrscheinlichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit – Wahrscheinlichkeit von Anzahlen P(X=k) ohne Problematisierung der Zufallsvariablen; Vierfeldertafel Simulation – Computer als Zufallsgenerator ohne Thematisierung der Erzeugung von Zufallszahlen, keine Beschr¨ankung auf Binomialverteilung
Themen • Volumenbilanz eines Pumpspeicherwerks • Durchschnittswerte bei Temperaturen (Niederschl¨agen) • Inhalte krummlinig begrenzter Fl¨achen Inhalte Hinweise Summe von Produkten – Unterschiedliche Problemstellungen fuhren auf Sum- ¨ men von Produkten, die sich grafisch als Fl¨acheninhalt von Rechteckstreifen deuten lassen. Integralfunktion – intuitive Grenzwertbildung (Veranschaulichung z.B. mit Tabellenkalkulationsprogramm); Integralwert; Integralfunktion Hauptsatz der Infinitesimalrechnung – Begrundung des Hauptsatzes f ¨ ur nichtnegative, steti- ¨ ge Funktionen; Berechnen des Integralwerts mithilfe der Stammfunktion Integrationsregeln – Additivit¨at; Linearit¨at (E) Differentialgleichungen – Auswahl solcher Differentialgleichungen, die sich durch Integration l¨osen lassen (E) Volumenberechnungen – Volumen von Rotationsk¨orpern
Themen • Minimaler Abstand zwischen Flugkursen • Sicher Fliegen und Landen • Berechnung und Darstellung der Bewegung von K¨orpern 38 4 Themen des Unterrichts Inhalte Hinweise L¨ange – Skalarprodukt; Betrag eines Vektors Winkelmaß – Winkelmaß zwischen Vektoren, Geraden und Ebenen; Prufen auf Orthogonalit ¨ ¨at Abstand – Abstand zwischen Punkten, Geraden und Ebenen; Lotfußpunktverfahren; Normalenform einer Ebenengleichung Fl¨acheninhalt – Vektorprodukt; Fl¨acheninhalt eines Dreiecks; Spatvolumen
Themen • Stetige Verzinsung eines Kapitals • Radioaktiver Zerfall • Bev¨olkerungswachstum Inhalte Hinweise Eigenschaften von Exponentialfunktionen – Monotonie; Verdoppelungs- und Halbierungswerte; Erkenntnis, dass exponentielle Wachstums- oder Zerfallsprozesse durch Exponentialfunktionen mit einer festen Basis (z.B. 2) dargestellt werden k¨onnen; Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion; Ableitung von Exponentialfunktionen e-Funktion – Definition der Euler’schen Zahl mithilfe der Ableitung fur Exponentialfunktionen ¨ Naturliche Logarithmus- ¨ funktion – Eigenschaften; Ableitungsfunktion; L¨osen von Exponentialgleichungen (E) Differentialgleichungen des Typs f’(x) = k f(x) – Erkenntnis, dass sich alle exponentiellen Wachstumsoder Zerfallsprozesse durch diesen Typ beschreiben lassen
Themen • Werfen von Wurfeln (auch Tetraederw ¨ urfel) ¨ • Das Galton-Brett • Normalverteilte Zufallsgr¨oßen Inhalte Hinweise Binomialverteilung – Urnenmodell ” Ziehen mit Zurucklegen“; Berechnung ¨ von Werten; Arbeit mit Tabellen; Erwartungswert und Standardabweichung (Beweise nicht erforderlich); Eigenschaften der Binomialverteilung; Computereinsatz Normalverteilung – Bestimmung der N¨aherungswerte mithilfe von Tabellen oder Rechnern (E) Poissonverteilung – N¨aherung der Binomialverteilung fur kleine p
Themen • Bruttosozialprodukt der EU-Staaten und Einwohnerzahl • Wahlhochrechnung • Geschmackstest Inhalte Hinweise Korrelation – Regressionsgerade als Anwendung der Analysis Sigma-Umgebungen bei Binomialverteilungen – 1-, 2-, oder 3-Sigma-Umgebungen; Aussagen uber fast ¨ alle Ergebnisse der zugeh¨origen Zufallsgr¨oße; Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe Alternativtest – Verbale Beschreibung des Testproblems; Festlegung des Stichprobenumfangs; Festlegung des Annahmeund Ablehnungsbereichs; Entscheidungsregel; Fehler erster und zweiter Art Signifikanztest – Festlegung von Nullhypothese und Gegenhypothese; Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit; Signifi- kanzniveau; Bestimmung der Testvariablen und ihrer Verteilung
Kreis und Kugel (Grundkurs 13.1; 3 Wochen) Die Analytische Geometrie wird um Kreise und Kugeln erweitert. Vektoren k¨onnen auch hier zur Untersuchung vorteilhaft genutzt werden. Themen • Meteoriteneinschlag auf der Erde Inhalte Hinweise Kreis und Kugel – Kreis- und Kugelgleichung; Schnittaufgaben Tangenten und Tangentialebenen – Gleichungen in Ursprungs- und Verschiebungsform
Themen • Gleisbau • Flugkurven beim Kugelstoßen Inhalte Hinweise Krummung ¨ – geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung; Wendestelle; Wendetangente; einfache Parameteraufgaben Kurvenscharen – Untersuchung von Kurvenscharen; Einhullende Kur- ¨ ve; Kurven auf denen die Extrem- und Wendepunkte liegen; einfache Grenzwertbestimmungen Numerische Verfahren – Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung; Sehnen-Verfahren zur numerischen Integration
Themen • Volumenbilanz eines Pumpspeicherwerks • Durchschnittswerte bei Temperaturen (Niederschl¨agen) • Kepler’sche Fassregel zur Berechnung von Volumina • L¨ange einer Straße • Inhalte krummlinig begrenzter Fl¨achen Inhalte Hinweise Summe von Produkten – Unterschiedliche Problemstellungen fuhren auf Sum- ¨ men von Produkten, die sich grafisch als Fl¨acheninhalt von Rechteckstreifen deuten lassen. Integralfunktion – Integralwert; Integralfunktion Hauptsatz der Infinitesimalrechnung – Problematisierung und Definition der Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle; Beweis des Hauptsatzes; Berechnen des Integralwerts durch Stammfunktionen Integrationsregeln – Additivit¨at; Linearit¨at; partielle Integration; Integration durch Substitution; uneigentliche Integrale N¨aherungsverfahren – Sehnentrapez- und Tangententrapezverfahren Simpsonverfahren; Fehlerabsch¨atzungen Volumenberechnungen – Volumen von Rotationsk¨orpern (E) Differentialgleichungen – Auswahl solcher Differentialgleichungen, die sich durch Integration l¨osen lassen
Themen • Verwaltung eines Warenlagers (Matrizen) • Sicher Fliegen und Landen Inhalte Hinweise Vektorr¨aume – Die Strukturen (Axiomensystem, Basis und Dimension) sollten an mehreren Beispielen (n- Tupel, Matrizen, Folgen, ganzrationale Funktionen usw.) untersucht werden; Linearkombination von Vektoren. Skalarprodukt – Beispiele fur verschiedene Skalarprodukte in einem ¨ Vektorraum; Beweis geeigneter elementargeometrischer S¨atze mit vektoriellen Methoden Vektor- und Spatprodukt – Vektorprodukt als spezielles Produkt im 3- dimensionalen Vektorraum mit geometrischer Veranschaulichung Normalen- und Koordinatenformen – Schnittwinkel zwischen Geraden oder Ebenen; Abstand zwischen Punkten, Geraden und Ebenen; Normalenform einer Ebenengleichung
Themen • Stetige Verzinsung eines Kapitals • Radioaktiver Zerfall • Bev¨olkerungswachstum • H¨ohenabh¨angigkeit des Luftdrucks Inhalte Hinweise Eigenschaften von Exponentialfunktionen – Monotonie; Funktionalgleichung; Erkenntnis, dass exponentielle Wachstums- oder Zerfallsprozesse durch Exponentialfunktionen mit einer festen Basis (z.B. 2) dargestellt werden k¨onnen; Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion; Ableitung von Exponentialfunktionen e-Funktion – Definition der Euler’schen Funktion mithilfe der Ableitung des Exponentialfunktionen Naturliche Logarithmus- ¨ funktion – Beweis der Eigenschaften; Ableitungsfunktion; L¨osen von Exponentialgleichungen
Themen • Werfen von Wurfeln (auch Tetraederw ¨ urfel) ¨ • Kartenspiele • Normalverteilte Zufallsgr¨oßen • Radioaktiver Zerfall Inhalte Hinweise Binomialverteilung – Urnenmodell ” Ziehen mit Zurucklegen“; Berechnung ¨ von Werten; Erwartungswert und Standardabweichung; Eigenschaften der Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung – Urnenmodell ” Ziehen ohne Zurucklegen“; Binomial- ¨ koeffizient; Berechnung von Werten; Erwartungswert und Standardabweichung; Vergleich zur Binomialverteilung, Laplace-Bedingung Normalverteilung – N¨aherung der Binomialverteilung (LaplaceBedingung); Gauß’sche Integralfunktion (StandardNormalverteilung); Eigenschaften der Gaußfunktion; Formel von Moivre Poissonverteilung – N¨aherung der Binomialverteilung fur kleine p
Themen • Gleisbau • Flugkurven beim Kugelstoßen Inhalte Hinweise Krummung ¨ – geometrische Bedeutung der zweiten Ableitung; Wendestelle; Wendetangente; Parameteraufgaben Kurvenscharen – Untersuchung von Kurvenscharen; Einhullende Kur- ¨ ve; Kurven auf denen die Extrem- und Wendepunkte liegen; Grenzwertberechnungen; Satz von l’Hospital Numerische Verfahren – Konvergenz und Fehlerabsch¨atzung von Verfahren zur Nullstellenbestimmung (Newton-Verfahren, regula falsi) und zur Integration Taylorreihen – Satz von Taylor, Restgliedabsch¨atzungen
Themen • Wahlhochrechnung • Bruttosozialprodukt der EU-Staaten und Einwohnerzahl Inhalte Hinweise Sigma-Umgebungen – 1,64- und 2,58-Sigma-Umgebungen; Aussagen uber ¨ fast alle Ergebnisse der zugeh¨origen Zufallsgr¨oße; Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe Konfidenzintervalle – Bestimmung eines Konfidenzintervalls fur eine unbe- ¨ kannte Wahrscheinlichkeit; Sch¨atzen des Parameters p; Zusammenhang zwischen Stichprobenumfang und L¨ange des Konfidenzintervalls Korrelation – Regressionsgerade als Anwendung der Analysis
Themen • Geschmackstest • Ubereinstimmung einer angenommenen Verteilung mit der Realit ¨ ¨at Inhalte Hinweise Alternativtest – verbale Beschreibung des Testproblems; Festlegung des Stichprobenumfangs; Festlegung des Annahmeund Ablehnungsbereichs; Entscheidungsregel; Fehler erster und zweiter Art Signifikanztest – Festlegung von Nullhypothese und Gegenhypothese; Festlegung der Irrtumswahrscheinlichkeit; Signifi- kanzniveau; Bestimmung der Testvariablen und ihrer Verteilung Weitere Testverfahren – Chi-Quadrat-Test oder Vorzeichentest oder Fishers exakter Test
Themen • Meteoriteneinschlag auf der Erde • Satelliten unterstutzte Navigation (GPS) ¨ Inhalte Hinweise Kreis und Kugel – Kreis- und Kugelgleichung; Schnittaufgaben Tangenten und Tangentialebenen – Gleichungen in Ursprungs- und Verschiebungsform Polare und Polarebene – Pol-Polarenbeziehung; Spiegelung an Kreis und Kugel
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